Introducción a la probabilidad y estadística (2001) Práctico 5

1. Consideremos una serie de 25 ensayos de Bernoulli con probabilidad de éxito p = 0.2. (a) Utilizando la tabla hallar la probabilidad de obtener entre 0 y 5 éxitos. (b) Utilizar el teorema integral de De Moivre-Laplace para aproximar la misma probabilidad. (c) Utilizar la aproximación de Poisson, sumando las seis probabilidades aproximadas.

2. En una serie de 25 ensayos de Bernoulli, hallar P_{25}(5) para los valores de p correspondientes a 0.05, 0.1 y 0.5 de las siguientes formas: (a) Utilizando la tabla binomial, (b) utilizando la aproximación del teorema local de De Moivre-Laplace, (c) utilizando la aproximación de Poisson. ¿ cuales de las seis aproximaciones le parecen razonables?

3. Sea P_{n}(m) la probabilidad de obtener m éxitos en una serie de n ensayos de Bernoulli, con probabilidad p de éxito en cada ensayo. (a) Calcular ∑_{m=0}^{n} mP_{n}(m). (b) Calcular ∑_{m=0}^{n} m(m−1)P_{n}(m).

(c) Con los cálculos anteriores, y observando que m^{2} = m(m − 1) + m calcular ∑_{m=0}^{n} m^{2}P_{n}(m).

4. Sea ε > 0 y μ la cantidad de éxitos en n ensayos independientes de Bernoulli. (a) Determinar el conjunto M_{n} tal que P(|\frac{μ}{n} − p| ≥ ε) = ∑_{m∈M_{n}} P_{n}(m). (b) Observando que si m ∈ M_{n} se cumple

( \frac{\frac{m}{n} −p}{ε})^{2} ≥ 1 demostrar que P(|\frac{μ}{n} − p| ≥ ε) ≤ ∑_{m=0}^{n} ( \frac{\frac{m}{n} −p}{ε})^{2}P_{n}(m).

5. (Continuación del ejercicio anterior) (a) Demostrar, que ∑_{m=0}^{n} ( \frac{\frac{m}{n} −p}{ε})^{2}P_{n}(m) = \frac{pq}{nε^{2}} (b) Dar una demostración del Teorema de Bernoulli, independiente de los teoremas de De Moivre-Laplace.

6. Sea X una variable aleatoria con distribución F, e Y = aX + b. (a) Demostrar que Y es una variable aleatoria. (b) Hallar G, la distribución de Y en función de F. (c) Suponiendo además, que X es absolutamente continua, demostrar que Y es absolutamente continua, y deducir la densidad de Y en función de la de X.

7. En una fábrica cada una de las piezas es sometida a un control de calidad, siendo aceptada con probabilidad p y rechazada con probabilidad 1 − p. Las clasificaciones de las distintas piezas son independientes. Se clasifica piezas hasta obtener k de buena calidad. Sea X la cantidad de piezas rechazadas en dicho experimento. Hallar la distribución de la variable X.

8. La variable aleatoria X tiene distribución discreta y toma los valores 0, 1, 2, 4 siendo las probabilidades de estos valores \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{8}. Hallar la función de distribución F (x) de esta variable aleatoria y dibujar su gráfico.

9. La variable aleatoria X tiene densidad p(x) = ce^{−|x|}. Calcular P(X ≤ 0), hallar el valor de la constante c, y calcular P(0 ≤ X ≤ 1).

10. Se arroja sucesivamente una moneda y se describen los resultados por medio de los números U_{1}, U_{2}, . . .. Cuando en la n−ésima replicación el resultado es cara, ponemos U_{n} = 1; y en caso contrario, U_{n} = 0. Suponemos que en cada oportunidad, la probabilidad de obtener cara es 1/2 y que las sucesivas replicaciones son independientes. Llamemos X al número cuya expresión en el sistema binario es

0.U_{1}U_{2}U_{3} ⋯ U_{n} ⋯,

o bien, de manera equivalente, X = ∑_{n=1}^{∞} U_{n}2^{−n}. Calcular: (a) P (X ≥ 1/2) (b) P (X = 0) (c) P (X = 1) (d) P (j2^{−n} ≤ X ≤ k2^{−n}) para j ≤ k ≤ 2^{n}. (e) P (a ≤ X ≤ b) para 0 ≤ a < b ≤ 1, como límite de probabilidades de intervalos de la parte (d) convenientemente elegidos.