Introducción a la probabilidad y estadística (2001) Práctico 6

1. Sea p(x) = (σ\sqrt{2π})^{−1}e^{− \frac{(x−a)^{2}}{2σ^{2}}} la densidad de una variable aleatoria X con distribución normal con parámetros (a, σ). (a) Representar graficamente la función p(x). (b) Calcular ∫_{−∞}^{∞} exp(−x^{2})dx y demostrar que ∫_{−∞}^{∞} p(x)dx = 1. (c) Si a = 0 y σ = 1, determinar un intervalo I = [−H, H] tal que P (X ∈ I) = 0.9.

2. (a) Sea X una variable aleatoria con distribución de Cauchy, con densidad p(x) = \frac{1}{c(1+x^{2})}. (a) Determinar la constante c. (b) Determinar un intervalo I = [−H, H] tal que P (X ∈ I) = 0.9, y comparar el valor de H con el del ejercicio anterior.

3. Sean α > 0, λ > 0. Diremos que la variable aleatoria X tiene distribución gama con parámetros (α, λ), si tiene densidad dada por p(x) = \frac{α^{λ}}{Γ(λ)}x^{λ−1}e^{−αx}, si x ≥ 0, p(x) = 0, si x < 0. (a) Verificar que Γ(λ) = ∫_{0}^{∞} x^{λ−1}e^{−x}dx, y demostrar que Γ(λ) = (λ − 1)Γ(λ − 1) para todo λ ≥ 0. (b) Calcular Γ(1) y encontrar un fórmula para Γ(n) con n natural.

4. Sea G(x) con x ≥ 0 una función monótona decreciente, no nula, que cumple la ecuación funcional G(x + y) = G(x)G(y), para todo x ≥ 0, y ≥ 0. (a) Demostrar que G(x) = e^{−αx} para algun α ≥ 0. (b) Demostrar que si una variable aleatoria T cumple la propiedad de pérdida de memoria, P (T > t + s | T > t) = P (T > s), entonces tiene distribución exponencial.

5. En un esquema de Bernoulli, sea T la variable aleatoria que indica en número de experimentos que se realizan hasta obtener el primer éxito. (a) Calcular P (T = k) para k = 1, 2, … Se dice que T tiene distribución geométrica de parámetro p. (b) Demostrar que P (T > m + n | T > m) = P (T > n), para m, n naturales arbitrarios. (c) Sea X con distribución exponencial de parámetro α. Demostrar que [T] + 1 tiene distribución geométrica y calcular su parámetro.

6. (a) Sea X una variable aleatoria con distibución discreta, que toma los valores x_{1}, x_{2}, . . .. Sea A_{i} = {ω: X(ω) = x_{i}}, e Y = ∑_{i} x_{i}1_{A_{i}}(ω). Demostrar que P (X = Y) = 1. (b) Sea X ≥ 0 una variable aleatoria. Definimos para cada n X_{n}(ω) = \frac{k}{2^{n}} si \frac{k}{2^{n}} ≤ X(ω) < \frac{k+1}{2^{n}} para k = 0, 1, …, n2^{n} − 1, X_{n}(ω) = n si X(ω) ≥ n. Obsevar que X es una variable aletoria discreta, y describir el conjunto de valores que toma. Demostar, que para cada ω, X_{n}(ω) ≤ X_{n+1}(ω) y lim_{n→∞} X_{n}(ω) = X(ω). (c) Si F_{n}(x) es la distribución de X_{n}, demostrar que F_{n}(x) → F (x) si n → ∞.

7. Sea (Ω, A, P) un espacio de probabilidad donde Ω = {ω_{1}, …, ω_{n}} es un conjunto finito. Notamos p_{k} = P ({ω_{k}}) ≥ 0 para k = 1, …, n. Se define la entropía de P como H(P) = − ∑_{k=1}^{n} p_{k} log p_{k} (convenimos 0 log 0 = 0). (a) Demostrar que 0 ≤ H(P) < ∞, y hallar P tal que H(P) = 0. (b) Sea P_{0} la probabilidad tal que p_{1} = … = p_{n} = \frac{1}{n}. Calcular H(P_{0}) y demostrar que H(P) ≤ H(P_{0}) para toda P.

8. Supongamos que Ω es un conjunto de s símbolos de un cierto alfabeto, que p_{k} es la frecuencia de aparición del símbolo k-ésimo en un mensaje largo, que suponemos constante, y P es la probabilidad correspondiente. (a) Calcular la cantidad de mensajes de largo n que respetan las frecuencias anteriores, es decir, donde aparece n_{k} = p_{k}n veces el símbolo k, para k = 1, … s. (b) Sea I(n) el largo mínimo necesario para codificar con dos valores (traducir a un “lenguaje” de dos símbolos) todos los mensajes calculados en (a). Demostrar mediante la fórmula de Stirling que \frac{log 2}{n}I(n) ∼ H(P). ¿Cuando un lenguaje es “más informativo”?

9. Paradoja de Bertrand. Sea C la circunferencia de centro O y radio 1. Determinar la probabilidad de que una cuerda AB de esta circunferencia elegida “al azar” sea mayor que el lado del triángulo equilátero inscripto en los siguientes casos: (a) Fijamos un punto I en C elegimos un punto M del segmento OI con distribución uniforme, y le asociamos la cuerda AB perpendicular a OI que pasa por M. (b) Fijamos A en C y elegimos B con distribución uniforme en C. (c) Elejimos un punto M en forma uniforme en el círculo, y consideramos la cuerda AB perpendicular a OM por el punto M.