Introducción a la probabilidad y estadística (2001) Práctico 8

1. Sean X_{1}, …, X_{n} variables aleatorias independientes con idéntica distribución F (x). Sea m = min(X_{1}, …, X_{n}) y M = max(X_{1}, …, X_{n}). (a) Calcular las distribuciones de M y m. (b) Calcular P(x ≤ m ≤ M ≤ y). (c) Si F (x) es absolutamente continua con densidad p(x) demostrar que m y M tienen distribución absolutamente continua y hallar las densidades respectivas.

2. Un experimentado arquero tira flechas con distribucion normal bidimensional con parámetros a = (0, 0) y matriz B = I_{2} (I_{n} es la matriz identidad n × n). Hallar la probabilidad de que acierte en un blanco centrado en el origen y con radio 1.

3. Considere un vector vector X = (X_{1}, X_{2}, X_{3}) con distribución normal con a = (0, 0, 0) y matriz B = I_{3} (I_{n} la matriz identidad n × n). (a) Demostrar que las coordenadas son variables aleatorias independientes. (b) Calcular la probabilidad de que X ∈ [−1, 1]^{3}. (c) Calcular la probabilidad de que X ∈ B_{3}, donde B_{n} es la bola de centro 0 y radio 1 en R^{n}. (d) Considere un vector normal en R^{n}, con a = 0 y matriz B = I_{n}. Demostrar que p(n) = P(X ∈ B_{n}) → 0 si n → ∞.

4. Sea (X, Y) un vector normal bidimensional, con a = (0, 0) y B = I_{2}. Hallar la densidad de la variable aleatoria \sqrt{X^{2} + Y^{2}}.

5. Juan(a) tiene dos amiga(o)s, que viven en direcciones opuestas de la linea de metro cercana a su casa, al norte y al sur. Para visitarla(o)s, llega en forma aleatoria al andén, a los lados del cual pasan ambas vias, y toma el primer tren que llega. Los trenes pasan exactamente cada 10 minutos en cada dirección, pero Juan(a) observa, que en promedio, 9 de cada 10 veces se dirige hacia el norte. ¿Puede explicar ud. que ocurre?

6. Sean X_{1}, …, X_{n} variables aleatorias independientes, con distribución comun F (x) absolutamente continua, con densidad p(x). Notamos X_{(1)}, X_{(2)}, …, X_{(n)} a las mismas variables ordenadas en forma creciente. Así, X_{(1)} es el mínimo de las variables, X_{(n)} es el máximo. (a) ¿Son independientes las variables X_{(1)}, X_{(2)}, …, X_{(n)}? Justifique su respuesta. (b) Mostrar que la probabilidad de que k de las n variables sean menores que x, y n − k mayores que x es \binom{n}{k}F (x)^{k}(1 − F (x))^{n−k}, y deducir que P(X_{(i)} ≤ x) = ∑_{k=i}^{n} \binom{n}{k}F (x)^{k}(1 − F (x))^{n−k}, y que X_{(i)} tiene densidad dada, para x real, por f_{(i)}(x) = i\binom{n}{i}F (x)^{i−1}f(x)(1 − F (x))^{n−i}.

7. Sea f(x, y) = \frac{c^{2}}{2π} e^{−(x^{2}+y^{2})/2} + h(x)h(y). Encontrar una función h(x) no nula, y una constante c > 0 para que f(x, y) sea la densidad de un vector aleatorio (X, Y), de forma que las densidades de X e Y sean normales estandar.

8. Sean X_{1}, …, X_{n} variables aleatorias independientes con distribución común exponencial de parámetro α. Determinar la densidad de X_{1} + X_{2}, X_{1} + X_{2} + X_{3}, y demostrar que la densidad de la suma X_{1} + X_{2} + … + X_{n} es f_{n}(x) = α^{n} \frac{x^{n−1}}{(n−1)!}e^{−αx}.

9. Proceso de Poisson. Consideremos X_{1}, …, X_{n}, … variables aleatorias con distribución común exponencial de parámetro α, y tales que para todo n las n-úplas X_{1}, …, X_{n} son independientes. Notemos S_{n} = ∑_{n=1}^{n} X_{i}, las sumas parciales. Definimos para cada t ≥ 0, N(t) = card{k: S_{k} ≤ t} es decir, la cantidad de sumas parciales anteriores a t. (a) Graficar una función posible N(t) al variar t. (b) Observando que {N(t) ≥ k} = {S_{k} ≤ t}, y utilizando el ejercicio anterior, escribir una fórmula mediante una integral para la probabilidad P(N(t) ≥ k). (c) Observando que P(N(t) = k) = P(N(t) ≥ k) − P(N(t) ≥ k − 1) y aplicando partes en la integral de la parte anterior deducir que N(t) tiene distribución de Poisson, de parámetro que se determinará.

10. (Ejercicio 1 del exámen del 15/2/1993) Sea (X, Y) un vector uniforme en el cuadrado [0, 1]^{2}. Sean R = \sqrt{2 ln(1/(1 − X))}, θ = π(2Y − 1). (a) Mostrar que θ tiene distribución uniforme en el

intervalo [−π, π], y que R tiene densidad dada por p(r) = re^{− \frac{r^{2}}{2}} , r ≥ 0. (b) Sean Z = R cos θ, W = R sen θ. Probar que Z y W son variables aleatorias independientes con distribución normal con parámetros (0, 1).